復習

中心角 $\theta$ ラジアンの扇形では、弧の長さ $x$ と半径 $r$ の間に

の関係が成り立つ。

計算してみよう

地球の影の三角形の頂角 $P$ は太陽の見ための大きさをあらわす角 約 2分の1 度でした。 これをラジアンであらわしたものを $p$ とします。 $p$ の意味を考えると正確な値は $p=(太陽の直径)/(地球と太陽の距離)$ です。

地球の影が作る三角形を考えると、地球から点 $P$ までの距離を $L$ として、地球の直径 $D$ は

とあらわせます。

月までの距離を $r$ として、地球の「影」の大きさは

です。 月の見ための大きさをあらわす角は図の $Q$ の角度で、以下では $q$ (ラジアン) とおくことにします。 $p$ と $q$ はほぼ等しいのでしたね。ここでは一応、別なものと扱います。

月の直径 $d$ は

です。

スケッチから $(月の直径):(地球の影の直径)= 1:a$ が得られているとすると、$(1)(2)$ を 用いて、

これを r について解くと

これが月までの距離を求める式。 $p=q$ と近似すると、

$d = q r$, $D = p L$ なので、 $(3)$ 式から、

これが月の直径を求める式。 $p=q$ と近似すると、

このようにして $a$ の値から、あっさり月までの距離と月の直径がもとまってしまう。